Matematica

(UFRJ) Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupas utilizando 3 materiais diferentes. Considere a matriz A abaixo, onde cada elemento a_ij representa quantas unidades de material j serão empregados para fabricação de roupas do tipo i.

a) Quantas unidades de material 3 serão empregados na confecção de uma roupa tipo 2?
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.

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Solução: De acordo com o enunciado, temos a tabela:

	Material 1	Material 2	Material 3
Roupa tipo 1	5	0	2
Roupa tipo 2	0	1	3
Roupa tipo 3	4	2	1

a) O número de unidades de material j = 3 na confecção de uma roupa tipo i = 2 é o elemento a₂₃ da matriz A, ou melhor, é o elemento da segunda linha com a terceira coluna a₂₃ = 3 unidades.
b) O valor procurado é 5a₁₁ + 4a₂₁ + 2a₃₁ = 5×5 + 4×0 + 2×4 = 25 + 0 + 8 = 33 unidades.

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Dada a matriz
,
calcule -a₁₂×a₂₁ + a₁₁×a₂₂ =

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Solução: -a₁₂×a₂₁ + a₁₁×a₂₂ = = -(2)×1+2×(-1) = -2 - 2 = -4.
Nota: Este procedimento é usualmente chamado de cálculo do determinante da matriz A.

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(PUC) Um batalhão do exército, resolveu codificar suas mensagens através da multiplicação de matrizes. Primeiramente, associa as letras do alfabeto aos números, segundo a correspondência abaixo considerada:

A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

Desta forma, supondo que o batalhão, em questão, deseja enviar a mensagem "PAZ", pode-se tomar uma matriz 2x2, da forma:
, a qual, usando-se da tabela acima, será dado por:
.
Tomando-se a matriz-chave C para o código, isto é:
, transmite-se a mensagem "PAZ" através da multiplicação das matrizes M e C, ou seja:
.
Ou através da cadeia de números 31 47 50 75. Desta forma, utilizando-se a mesma matriz-chave C, a decodificação da mensagem 51 81 9 14 será compreendida pelo batalhão como a transmissão da palavra:
(A) LUTE
(B) FOGO
(C) AMOR
(D) VIDA
(E) FUGA

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Solução: Esta é uma das inúmeras aplicações das matrizes: escrever mensagens em códigos, de modo que somente pessoas autorizadas possam decifrá-las (Criptografia básica). Como a matriz C codifica a mensagem, para decodificar temos que multiplicar por uma matriz D que desfaz o que matriz C faz, ou seja, temos que multiplicar pela matriz D inversa de C. 
Para construir a Matriz D vamos usar o fato de que D é a matriz inversa de C se , e somente se, C×D = D×C = I, onde I é matriz identidade. Depois resolvemos os dois sistemas de equações resultantes.

Observe que a matriz C codificou a mensagem multiplicando a matriz M pela direita, então, temos que decifrar a mensagem multiplicando por D=C^-1 também pela direita, pois a propriedade comutativa no produto de matrizes não é válida. Decodificando a mensagem 51 81 9 14, encontramos:

Logo, a mensagem 51 81 9 14 será compreendida como 21 9 4 1 , correspondendo a palavra VIDA.
A alternativa (D) é a opção correta.

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